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这是平行线判定与性质口诀，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

平行线判定与性质口诀第1篇

¤ 最简根式的条件

最简根式三条件，

号内不把分母含，

幂指（数）根指（数）要互质，

幂指比根指小一点。

¤ 特殊点的坐标特征

坐标平面点（x，y），横在前来纵在后；

（＋，＋），（－，＋），（－，－）和（＋，－），四个象限分前后；

x轴上y为0，x为0在y轴。

¤ 象限角的平分线

象限角的平分线，

坐标特征有特点，

一、三横纵都相等，

二、四横纵确相反。

¤ 平行某轴的直线

平行某轴的直线，

点的坐标有讲究，

直线平行x轴，纵坐标相等横不同；

直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧。

¤ 对称点的坐标

对称点坐标要记牢，

相反数位置莫混淆，

x轴对称y相反，

y轴对称，x前面添负号；

原点对称最好记，

横纵坐标变符号。

¤ 自变量的取值范围

分式分母不为零，

偶次根下负不行；

零次幂底数不为零，

整式、奇次根全能行。

¤ 函数图象的移动规律

若把一次函数解析式写成y＝k（x＋0）＋b，二次函数的解析式写成y＝a（x＋h）2＋k的形式，则可用下面的口诀：

左右平移在括号，

上下平移在末稍，

左正右负须牢记，

上正下负错不了。

¤ 一次函数的图象与性质的口诀

一次函数是直线，图象经过三象限；

正比例函数更简单，经过原点一直线；

EURO Cup 2024 schedule两个系数k与b，作用之大莫小看，

k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

k为正来右上斜，x增减y增减；

k为负来左下展，变化规律正相反；

k的绝对值越大，线离横轴就越远。

¤ 二次函数的图象与性质的口诀

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点，它们确定图象现；

开口、大小由a断，c与y轴来相见，

b的符号较特别，符号与a相关联；

顶点位置先找见，y轴作为参考线，

左同右异中为0，牢记心中莫混乱；

顶点坐标最重要，一般 式配方它就现，

横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，

一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

¤ 反比例函数的图象与性质的口诀

反比例函数有特点，双曲线相背离得远；

k为正，图在一、三（象）限，

k为负，图在二、四（象）限；

图在一、三函数减，两个分支分别减。

图在二、四正相反，两个分支分别增；

线越长越近轴，永远与轴不沾边。

¤ 巧记三角函数定义

初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的.

一句话记定义：

一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话：“正对鱼磷（余邻）直刀切。

”正：正弦或正切，对：对边即正是对；余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边．

¤ 三角函数的增减性

正增余减

¤ 特殊三角函数值记忆

首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。

UEFA Euro 2024 qualifying standings¤ 平行四边形的判定

要证平行四边形，两个条件才能行，

一证对边都相等，或证对边都平行，

一组对边也可以，必须相等且平行。

对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，

对角相等也有用，“两组对角”才能成。

¤ 梯形问题的辅助线

移动梯形对角线，两腰之和成一线；

平行移动一条腰，两腰同在“△”现；

延长两腰交一点，“△”中有平行线；

作出梯形两高线，矩形显示在眼前；

已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

¤ 添加辅助线歌

辅助线，怎么添？

找出规律是关键，题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；

线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线；

三角形中有中线，延长中线翻一番。

¤ 圆的证明歌

圆的证明不算难，常把半径直径连；

有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；

直径是圆最大弦，直圆周角立上边，

它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；

还有与圆有关角，勿忘相互有关联，

圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连；

同弧圆周角相等，证题用它最多见，

圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；

圆有内接四边形，对角互补记心间，

外角等于内对角，四边形定内接圆；

直角相对或共弦，试试加 个辅助圆；

若是证题打转转，四点共圆可解难；

要想证明圆切线，垂直半径过外端，

直线与圆有共点，证垂直来半径连，

直线与圆未给点，需证半径作垂线；

四边形 有内切圆，对边和等是条件；

Euro 2024 qualifying如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，

两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

¤ 圆中比例线段

遇等积，改等比，横找竖找定相似；

不相似，别生气，等线等比来代替，

遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

平行线，转比例，两端各自找联系。

¤ 正多边形诀窍歌

份相等分割圆，n值必须大于三，

依次连接各分点，内接正n边形在眼前。

经过分点做切线，切线相交n个点。

n个交点做顶点，外切正n边形便出现。

正n边形很美观，它有内接、外切圆，

内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，

它的图形轴对称，n条对称轴 都过圆心点，

如果n值为偶数，中心对称很方便。

正n边形做计算，边心距、半径是关键，

内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，

分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。

¤ 函数学习口决

正比例函数是直线，图象一定过原点，

k的正负是关键，决定直线的象限，

负k经过二四限，x增大y在减，

上下平移k不变，由引得到一次线，

向上加b向下减，图象经过三个限，

两点决定一条线，选定系数是关键。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，

正k落在一三限，x增大y在减，

图象上面任意点，矩形面积都不变，

对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，

a的正负开口判，c的大小y轴看，

△的符号最简便，x轴上数交点，

a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，

顶点牵着图象转，三种形式可变换，

配方法作用最关键。

EURO Cup 2024 schedule平行线判定与性质口诀第2篇

　　一、最简根式的条件

　　最简根式三条件，

　　号内不把分母含，

　　幂指(数)根指(数)要互质，

　　幂指比根指小一点。

　　二、特殊点的坐标特征

　　坐标平面点(x，y)，横在前来纵在后;

　　(+，+)，(-，+)，(-，-)和(+，-)，四个象限分前后;

　　x轴上y为0，x为0在y轴。

　　三、象限角的平分线

　　象限角的平分线，

　　坐标特征有特点，

　　一、三横纵都相等，

　　二、四横纵确相反。

　　四、平行某轴的直线

　　平行某轴的直线，

　　点的坐标有讲究，

　　直线平行x轴，纵坐标相等横不同;

　　直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧。

　　五、对称点的坐标

　　对称点坐标要记牢，

　　相反数位置莫混淆，

　　x轴对称y相反，

　　y轴对称，x前面添负号;

　　原点对称最好记，

　　横纵坐标变符号。

　　六、自变量的取值范围

　　分式分母不为零，

　　偶次根下负不行;

　　零次幂底数不为零，

　　整式、奇次根全能行。

　　七、函数图象的移动规律

　　若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b，二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则可用下面的`口诀

　　左右平移在括号，

　　上下平移在末稍，

　　左正右负须牢记，

　　上正下负错不了。

　　八、一次函数的图象与性质的口诀

　　一次函数是直线，图象经过三象限;

　　正比例函数更简单，经过原点一直线;

　　EURO Cup 2024 schedule两个系数k与b，作用之大莫小看，

　　k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

　　k为正来右上斜，x增减y增减;

EURO Cup 2024 schedule　　k为负来左下展，变化规律正相反;

　　k的绝对值越大，线离横轴就越远。

　　九、二次函数的图象与性质的口诀

　　二次函数抛物线，图象对称是关键;

　　开口、顶点和交点，它们确定图象现;

　　开口、大小由a断，c与y轴来相见，

　　b的符号较特别，符号与a相关联;

　　顶点位置先找见，y轴作为参考线，

　　左同右异中为0，牢记心中莫混乱;

　　顶点坐标最重要，一般 式配方它就现，

　　横标即为对称轴，纵标函数最值见。

　　若求对称轴位置，符号反，

　　一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

　　十、反比例函数的图象与性质的口诀

　　反比例函数有特点，双曲线相背离得远;

　　k为正，图在一、三(象)限，

　　k为负，图在二、四(象)限;

　　图在一、三函数减，两个分支分别减。

　　图在二、四正相反，两个分支分别增;

　　线越长越近轴，永远与轴不沾边。

　　十一、巧记三角函数定义

　　初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是直角三角形的边的比值，可以把两个字用/隔开，再用下面的.

　　十二、一句话记定义

　　一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话“正对鱼磷(余邻)直刀切。

　　”正正弦或正切，对对边即正是对;余余弦或余弦，邻邻边即余是邻;切是直角边.

　　十三、三角函数的增减性

　　正增余减

　　十四、特殊三角函数值记忆

　　首先记住30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2、正切、余切的分母都是3，分子记口诀“123，321，三九二十七”既可。

Euro 2024 qualifying results　　十五、平行四边形的判定

　　要证平行四边形，两个条件才能行

　　，一证对边都相等，或证对边都平行，

　　一组对边也可以，必须相等且平行。

　　对角线，是个宝，互相平分“跑不了”，

　　对角相等也有用，“两组对角”才能成。

　　十六、梯形问题的辅助线

　　移动梯形对角线，两腰之和成一线;

　　平行移动一条腰，两腰同在“△”现;

　　延长两腰交一点，“△”中有平行线;

　　作出梯形两高线，矩形显示在眼前;

　　已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

　　十七、添加辅助线歌

　　辅助线，怎么添?

　　找出规律是关键，题中若有角(平)分线，可向两边作垂线;

　　线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形两边中点，连接则成中位线;

　　三角形中有中线，延长中线翻一番。

　　十八、圆的证明歌

　　圆的证明不算难，常把半径直径连;

　　有弦可作弦心距，它定垂直平分弦;

　　直径是圆最大弦，直圆周角立上边，

　　它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边;

　　还有与圆有关角，勿忘相互有关联，

　　圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连;

　　同弧圆周角相等，证题用它最多见，

　　圆中若有弦切角，夹弧找到就好办;

　　圆有内接四边形，对角互补记心间，

　　外角等于内对角，四边形定内接圆;

　　直角相对或共弦，试试加 个辅助圆;

　　若是证题打转转，四点共圆可解难;

　　要想证明圆切线，垂直半径过外端，

　　直线与圆有共点，证垂直来半径连，

Euro 2024 live scores　　直线与圆未给点，需证半径作垂线;

　　四边形 有内切圆，对边和等是条件;

　　Euro 2024 qualifying如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，

　　两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

　　十九、圆中比例线段

　　遇等积，改等比，横找竖找定相似;

　　不相似，别生气，等线等比来代替，

　　遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

　　平行线，转比例，两端各自找联系。

　　二十、正多边形诀窍歌

　　份相等分割圆，n值必须大于三，

　　依次连接各分点，内接正n边形在眼前。

　　经过分点做切线，切线相交n个点。

　　n个交点做顶点，外切正n边形便出现。

　　正n边形很美观，它有内接、外切圆，

　　内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，

　　它的图形轴对称，n条对称轴 都过圆心点，

　　如果n值为偶数，中心对称很方便。

　　正n边形做计算，边心距、半径是关键，

　　内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，

　　分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。

　　二十一、函数学习口决

　　正比例函数是直线，图象一定过原点，

　　k的正负是关键，决定直线的象限，

　　负k经过二四限，x增大y在减，

　　上下平移k不变，由引得到一次线，

　　向上加b向下减，图象经过三个限，

　　两点决定一条线，选定系数是关键。

　　二十二、反比例函数双曲线

　　待定只需一个点，

　　正k落在一三限，x增大y在减，

　　图象上面任意点，矩形面积都不变，

UEFA Euro 2024 qualifying standings　　对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。

　　二十三、二次函数抛物线

　　选定需要三个点，

　　a的正负开口判，c的大小y轴看，

　　△的符号最简便，x轴上数交点，

　　a、b同号轴左边，抛物线平移a不变，

　　顶点牵着图象转，三种形式可变换，

　　配方法作用最关键。

平行线判定与性质口诀第3篇

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

平行线判定和性质

教学目的：

1. 会认由三线八角所成的同位角，内错角，同旁内角

2. 掌握平行公理及其推论

3. 掌握并能较灵活应用平行线的判定方法和性质

教学重点和难点：

重点：平行线的概念、平行公理、平行线的判定和平行线的性质。

难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分 ②掌握推理论证的格式。

教学中体现出的重要的数学思想：

1. 数形结合的思想：把计算、推理与图形结合起来，以形辅算，以算辅形的思想。

2. 方程的思想：利用方程（组）求解未知量的思想。

教学中学生应注意培养的主要数学能力：

1. 空间想象能力：从培养自己观察几何图形的位置关系的能力入手，逐步提高自己认图能力和抽象、概括几何概念的能力，从而培养自己的空间想象能力。

2. 运算能力：通过几何计算，在熟练技能的基础上，培养运算能力。

3. 逻辑推理能力：在初步掌握推理技能的基础上，逐步培养自己灵活运用各种推理形式的能力。

4. 思维能力：在本章的学习中，要从几何语言能力的培养入手，在文字语言，符号语言，图形语言的相互转化训练中，逐步规范自己的思维模式，为发展自己的思维能力打下好的基础。

几何证明题的基本结构和方法： 常用三种方法：Euro 2024 qualifying results一种方法是从结论入手，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，有时也用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，最后一种方法也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的入手点。

教学过程：

［知识点总结］

一、三线八角：

直线AB、CD被直线EF所截，如图所示

1）同位角：1和5这两个角分别在直线AB、CD的上方，都在直线EF的同一侧。还有：2和6、4和8、3和7

2）内错角：4和6这两个角都在直线AB、CD之间，并且在EF的两侧。还有3和5

3）同旁内角：4和5这两个角在直线AB、CD之间，在EF的同一旁。还有3和6

二、平行线的定义、性质和判定

1. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线

记作：∥

2. 平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

公理的推论：（平行的传递性）

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

*∥，∥

*∥

3. 平行线的判定：如图所示：

（1）判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

AB∥CD

（2）判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

AB∥CD

（3）判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

AB∥CD

4. 平行线的性质（如上图）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等

AB∥CD

（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等

AB∥CD

（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

*AB∥CD

Euro 2024 live scores【典型例题】

例1：找出下图中互相平行的直线，并说明理由。

答：同位角相等

例2：（1）如下图，∵∠1＝∠2

∴ AC ∥ DE ， 内错角相等，两直线平行

∵∠2＝ ∠4

∴ DE ∥ FG ，同位角相等，两直线平行

∵∠3＋∠4＝180°

∴ DE∥ FG ，同旁内角互补，两直线平行

∴AC∥FG， 平行于同一直线的两直线平行

（2）如下图，∵DE∥BC

∴∠2＝ ∠4 ， 两直线平行，内错角相等

∴∠B＋ ∠5 ＝180°，两直线平行，同旁内角互补

∵∠B＝∠4

∴ AB∥ EF ， 同位角相等两直线平行

∴ ∠B＋ ∠3 ＝180°，两直线平行，同旁内角互补

例3：已知如图，AB//CD，∠1＝∠3，求证：AC//BD。

分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，因为AB//CD，所以可知∠1＝∠2，又因为∠1＝∠3，可推出∠2＝∠3，能判定AB与CD平行。

也可以从求证入手，要求证AC//CD，需要求出∠2＝∠3，因为平行线的性质得出∠1＝∠2，已知∠1＝∠3，利用等量代换即可。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠3（已知）

∴∠2＝∠3（等量代换）

∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）。

例4：已知如图，AB//CD，AC//BD，求证：∠1＝∠3。

分析：因为∠1和∠3的位置不能构成同位角或内错角，也不是同旁内角，因此不可能利用题设中的平行直线关系，经过一次推理得到结论。需要找出一个间接的量就是∠2，由图形中∠1与∠2是内错角位置。而∠2与∠3是同位角位置，再通过等角进行转化。

若从条件入手，平行可以得出很多结论，在其中选出与求证的角有关的结论，找到结论之间的关系，从而得证。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

又∵AC//BD（已知）

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）

Euro 2024 qualifying∴∠1＝∠3（等量代换）

例5：已知如图∠1＝∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD。

分析：从条件入手分析，利用平分线得到等角，利用等量代换求出∠1＝∠3，再根据平行线的判定得出平行关系，或从结论入手也可以。

证明：∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠2＝∠3（角平分线定义）

∵∠1＝∠2（已知）

Euro 2024 qualifying∴∠1＝∠3（等量代换）

∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）。

例6：已知如图，AB//CD，∠1＝∠2，求证：BD平分∠ABC。

证明：∵AB//CD（已知）

∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD平分∠ABC（角平分线定义）

注意：1）要证明角平分线，必须通过证明角相等得出。

2）当条件和结论交换时，注意只能运用已知条件推出未知的结论。

例7：如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°，求证：∠1＝∠7。

分析：运用综合法来分析此题，证明思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行推出其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。只要证明a//c即可。

法（1）证明：∵d是直线（已知）

∴∠1＋∠4＝180°（平角定义）

∵∠2＋∠3＝180°，∠1＝∠2（已知）

∴∠3＝∠4（等角的补角相等）

∴a//c（同位角相等，两直线平行）

∴∠1＝∠7（两直线平行，同位角相等）

法（2）证明：∵∠2＋∠3＝180°，∠1＝∠2（已知）

∴∠1＋∠3＝180°（等量代换）

∵∠5＝∠1，∠6＝∠3（对顶角相等）∴∠5＋∠6＝180°（等量代换）

∴a//c （同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠7（两直线平行，同位角相等）。

Euro 2024 qualifying【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 判断题：（每小题3分，共24分）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （ ）

（2）如果直线∥，那么∥ （ ）

（3）两条直线平行，同旁内角相等； （ ）

（4）邻补角的角平分线所在的两条直线互相垂直 （ ）

2. 选择题：

（1）如图，如果AD∥BC，则有

①∠A＋∠B＝180° ②∠B＋∠C＝180° ③∠C＋∠D＝180°

上述结论中正确的是（ ）

A. 只有① B. 只有② C. 只有③ D. 只有①和③

（2）如图，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（ ）

A. ∠1＋∠2 B. ∠2－∠1

C. 180°－∠2 ＋∠1 D. 180°－∠1＋∠2

（3）如果直线∥，∥，那么∥。这个推理的依据是（ ）

A. 等量代换 B. 平行公理

C. 两直线平行，同位角相等

D. 平行于同一直线的两条直线平行

3. 填空：（每空1分，共16分）

（1）如图，∠3与∠B是直线AB、______被直线______所截而成的______角；∠1与∠A是直线AB、______被直线______所截而成的______角；∠2与∠A是直线AB、______被直线______所截而成的______角。

（2）已知：如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠EFD。

求证：EG∥FH

证明：∵ AB∥CD（已知）

∴ ∠AEF＝∠EFD （______）

∵ EG平分∠AEF，FH平分∠EFD（______），

∴∠______＝∠AEF，

∠______＝∠EFD（角平分线定义）

∴∠______＝∠______

∴ EG∥FH（______）

4. 已知：如图，∠1＝35°，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O。求∠2、∠3、∠4的度数。（10）

5. 已知：如图，直线EF与AB、CD分别相交于点G、H，∠1＝∠3。求证：AB∥CD。（10分）

Euro 2024 qualifying6. 已知：如图，AB∥CD，BE∥CF。求证：∠1＝∠4。（10分）

7. 已知：如图，BE∥DF，∠B＝∠D。求证：AD∥BC。（10分）

【试题答案】

1. （1）×（2）×（3）×（4）√

2. （1）D（2）C（3）D

3. （1）CE，BD，同位；BD，AC，同旁内；CE，AC，内错

（2）两直线平行，内错角相等；已知；GEF；EFH；GEF；EFH；内错角相等，两直线平行

4. ∠2＝145° ∠3＝35° ∠4＝55°

5. 证明：∵∠1＝∠GHD，∠3＝∠AGH（对顶角相等），

∠1＝∠3（已知），

∴∠AGH＝∠GHD

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

6. 证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠ABC＝∠BCD（两条直线平行，内错角相等）

∵BE∥CF（已知）

∴∠2＝∠3（两条直线平行，内错角相等），

∵∠ABC＝∠1＋∠2，∠BCD＝∠3＋∠4，

∴∠1＝∠4

7. 证明：∵BE∥DF（已知）

∴∠D＝∠EAD（两条直线平行，内错角相等），

∵∠B＝∠D（已知），

∴∠B＝∠EAD

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）