Euro 2024 qualifying

这是角平分线的探究过程，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

角平分线的探究过程第 1 篇

角平分线与高线是三角形中的两条主要线段，它们的夹角与三角形的内角存在下面两条规律。

1. 三角形同一顶点引出的角平分线与高线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。

例1 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，∠C=60°，AT平分∠BAC，AH⊥BC，垂足为H，则∠TAH=____________。

图1

解析：因AH⊥BC，所以∠TAH=90°－∠ATH。

由三角形外角性质可知，∠ATH=∠B＋∠BAT

∵∠BAT=∠BAC

=（180°－∠B－∠C）

=90°－（∠B＋∠C）

∴∠ATH=∠B＋90°－（∠B＋∠C）

∴∠TAH=90°－∠B－90°＋（∠B＋∠C）

=（∠C－∠B）

=15°

想一想，如果∠BAC是锐角或者钝角，那么∠TAH=（∠C－∠B）还成立吗？自己动手做做看。

2. 过三角形角平分线所在直线上任一点向第三边作垂线，EURO Cup 2024 schedule角平分线与垂线的夹角等于三角形另外两角差的绝对值的一半。

例2 如图2，在△ABC中，∠B<∠C，AQ平分∠BAC，AQ交BC于点Q，点T是AQ延长线上的一点，TH⊥BC于点H，试说明∠HTA=（∠C－∠B）。

图2

解析：过点A作AH”⊥BC，则AH”//TH。根据平行线的性质，可得∠HTA=∠AQH”

由上题的结论，可得∠QAH”=（∠C－∠B）

故∠HTA=（∠C－∠B）

角平分线的探究过程第 2 篇

　　一、教学分析：

　　1.教学内容：

　　本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12章3节第一课时的内容，是七年级学习角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径。因此，本节内容在数学科体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深，则易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

　　2.教学对象分析：

　　刚进入八年的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较弱，思维的广阔性、Euro 2024 qualifying results灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

　　3.教学环境分析：

　　利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索数学环境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。选择根据本节课的实际需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，借助几何画板将有关教学内容用动态的方式表示出来，发现变化中的不变，吸引学生的注意力。

　　二、教学目标：

　　1．知识与技能

　　通过作图直观地理解角平分线的性质．

　　2．过程与方法

　　经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

　　3．情感、态度与价值观

　　激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．

　　三、重、难点

　　1.重点：领会角的平分线的性质．

　　2．难点：角平分线的性质的实际应用．

　　教具准备投影仪、制作如课本图12．3─1的教具（几何画板）．

　　四、教学策略与手段

　　教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会角平分线的性质．

　　五、教学过程

　　1.创设情境，导入新课

　　活动1（投影显示）

　　不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？

　　学生分组讨论测量方法

　　老师总结：可以用对折的方法把∠UEFA Euro 2024 qualifying standingsABC平分 活动2如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

　　学生仍讨论：对折的方法不可以，应当考虑使用工具了。

　　如课本图12．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的'顶点，AB和A

　　DO B

　　沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

　　画板演示

　　小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图12．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．证明：在△ACD和△ACB中

　　AD=AB（已知）

　　DC=BC（已知）

　　CA=CA（公共边）

　　∴ △ACD≌ △ACB（SSS）

　　∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）

　　∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

　　活动3：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）

　　做出三条边相等

　　图12.3-1

　　如何用尺规作角的平分线？

　　作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 2

　　３．作射线OC．

　　则射线ＯＣ即为所求．

　　活动4：探究角平分线的性质

　　(1)实验：任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂

　　线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE，比较PD，PE的长度。

EURO Cup 2024 schedule　　(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

　　学生实际测量，老师几何画板验证，确定命题的已知和求证

　　活动5：探究角平分线的性质

　　角的平分线的性质的数学符号表示：

　　已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E

　　求证: PD=PE

　　证明：∵OC平分∠ AOB （已知）

　　∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）

　　∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）

　　∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）

　　在△PDO和△PEO中

　　∠PDO= ∠PEO（已证）

　　∠1= ∠2 （已证）

　　OP=OP （公共边）

　　∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）

　　∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

　　证明几何命题的一般步骤

　　1.明确命题中的已知和求证；

　　2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

　　3.经过分析，找出由已知推出要证 的结论的途径，写出证明过程.

　　例：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.

　　这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）

　　随堂练习

　　教材50页第1题

　　小结：

　　1：画一个已知角的角平分线

Euro 2024 live scores　　(注意作图痕迹和几何语言的表达)

　　2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

　　3：角平分线的性质的应用

　　作业：教科书51页第2题

　　板书设计：

　　12.3.1角的平分线的性质

　　1.作已知的角的平分线

　　2.角平分线的性质

角平分线的探究过程第 3 篇

　　一、教学分析：

　　1.教学内容：

　　本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12章3节第一课时的内容，是七年级学习角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的，内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。作角平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径。因此，本节内容在数学科体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深，则易到难，知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

　　2.教学对象分析：

　　刚进入八年的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较弱，思维的广阔性、Euro 2024 qualifying results灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。

　　3.教学环境分析：

　　利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索数学环境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。选择根据本节课的实际需要，我选择电脑及投影仪多媒体教学系统辅助教学，借助几何画板将有关教学内容用动态的方式表示出来，发现变化中的不变，吸引学生的注意力。

　　二、教学目标：

　　1．知识与技能

　　通过作图直观地理解角平分线的性质．

　　2．过程与方法

　　经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

　　3．情感、态度与价值观

　　激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．

　　三、重、难点

　　1.重点：领会角的平分线的性质．

　　2．难点：角平分线的性质的实际应用．

　　教具准备投影仪、制作如课本图12．3─1的教具（几何画板）．

　　四、教学策略与手段

　　教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会角平分线的性质．

　　五、教学过程

　　1.创设情境，导入新课

　　活动1（投影显示）

　　不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？

　　学生分组讨论测量方法

　　老师总结：可以用对折的方法把∠UEFA Euro 2024 qualifying standingsABC平分 活动2如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？

　　学生仍讨论：对折的方法不可以，应当考虑使用工具了。

　　如课本图12．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的'顶点，AB和A

　　DO B

　　沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？

　　画板演示

　　小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图12．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．证明：在△ACD和△ACB中

　　AD=AB（已知）

　　DC=BC（已知）

　　CA=CA（公共边）

　　∴ △ACD≌ △ACB（SSS）

　　∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）

　　∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

　　活动3：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）

　　做出三条边相等

　　图12.3-1

　　如何用尺规作角的平分线？

　　作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于N． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． 2

　　３．作射线OC．

　　则射线ＯＣ即为所求．

　　活动4：探究角平分线的性质

　　(1)实验：任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂

　　线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE，比较PD，PE的长度。

EURO Cup 2024 schedule　　(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

　　学生实际测量，老师几何画板验证，确定命题的已知和求证

　　活动5：探究角平分线的性质

　　角的平分线的性质的数学符号表示：

　　已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E

　　求证: PD=PE

　　证明：∵OC平分∠ AOB （已知）

　　∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）

　　∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）

　　∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）

　　在△PDO和△PEO中

　　∠PDO= ∠PEO（已证）

　　∠1= ∠2 （已证）

　　OP=OP （公共边）

　　∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）

　　∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

　　证明几何命题的一般步骤

　　1.明确命题中的已知和求证；

　　2.根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

　　3.经过分析，找出由已知推出要证 的结论的途径，写出证明过程.

　　例：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.

　　这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）

　　随堂练习

　　教材50页第1题

　　小结：

　　1：画一个已知角的角平分线

Euro 2024 live scores　　(注意作图痕迹和几何语言的表达)

　　2：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

　　3：角平分线的性质的应用

　　作业：教科书51页第2题

　　板书设计：

　　12.3.1角的平分线的性质

　　1.作已知的角的平分线

　　2.角平分线的性质

角平分线的探究过程第 4 篇

　　角平分线的性质

　　教学目标

　　1.了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。

　　2.经历操作，推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

　　教材分析

　　重点：角平分线性质的探索。

　　难点：角平分线性质的应用。

　　教学方法：

　　预学----探究----精导----提升

　　教学过程

　　一创设问题情境，预学角平分线的性质

　　阅读课本P128-P129，并完成预学检测。

　　二合作探究

　　如图，OC为∠AOB的角平分线,P为OC上任意一点。

　　提问：

　　1.如何画出∠AOB的平分线?

　　2.若点P到角两边的距离分别为PD,PE，量一量，PD,PC是否相等?你能说明为什么吗?

　　让学生活动起来，通过测量，比较，得出结论。

EURO Cup 2024 schedule　　教师鼓励学生大胆猜测，肯定它们的发现。

　　归纳：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

　　三想一想，巩固角平分线的性质

　　三条公路两两相交，为更好的使公路得到维护，决定在三角区建立一个公路维护站，那么这个维护站应该建在哪里?才能使维护站到三条公路的距离都相等?

　　三做一做，拓展课题

　　如图，P为△ABC的外角平分线上一点，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分别是垂足，试探索BE与PB+PD的大小关系。

　　让学生充分讨论，鼓励学生自主完成。

　　教师归纳：

　　因为射线AP是△ABC的外角∠CAE平分线，

　　所以PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)

　　所以PB+PD=PB+PE

　　又PB+PE>BE(三角形两边之和大于第三边)

　　所以PB+PD>BE

　　思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，则射线BP有怎样的性质?点P又有怎样的位置?

　　四课堂练习

　　课本P130练习

　　五小结

　　本节课学习了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，反过来，到一个角两边距离相等的点，在这个角的.UEFA Euro 2024 qualifying standings平分线上，三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

　　六作业

　　1.课本P130习题A组T1,T2

　　2.基础训练同步练习。

　　3.选作拓展题。

　　七课后反思：

　　新旧教法对比：新教法更有利于培养学生合作学习的能力。

　　学生对于角平分线的性质可以倒背如流，但就是容易把到角两边的距离看错，在以后的教学中要多加强对距离的认识。

　　学案

　　学习目标：

　　1了解角平分线的性质。

　　2并运用角平分线的性质解决一些实际问题。

　　预学检测：

　　1角平分线上任意一点到 相等。

　　2⑴如图，已知∠1=∠2，DE⊥AB，

　　DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE____DF.

　　⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别

　　为E、F，且DE=DF，则∠1_____∠2.

　　学点训练：

　　1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D.下列结论中错误的是()

　　A.PC=PDB.OC=OD

　　C.∠CPO=∠DPOD.OC=PC

　　2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

　　AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，

　　若AC=10cm，则△DBE的周长等于()

　　A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm

　　巩固练习：

　　已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，

　　BD平分∠ABC.求证：BC=AB+AD

　　拓展提升：

　　如图，P为△ABC的外角平分线上一点，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分别是垂足，试探索BE与PB+PD的大小关系。